ベクトルを乗算する3つの方法を見ていきます。まず、ベクトルのスカラー乗法を見ていきます。次に、2つのベクトルの乗算について見ていきます。スカラー積と外積を使用して、ベクトルを乗算する2つの異なる方法を学習します。

ベクトルにスカラーを掛ける方法

ベクトルにスカラーを掛けると、ベクトルの各成分にスカラーが掛けられます。

ベクトルがあるとしましょう

、それはスカラーで乗算されます

。次に、ベクトルとスカラーの積は次のように記述されます。

。もしも

、次に乗算はの長さを増加させます

要因によって

。もしも

、次に、の大きさを増やすことに加えて

要因によって

、ベクトルの方向も逆になります。

ベクトル成分に関しては、各成分にスカラーが掛けられます。たとえば、ベクトルの場合

、 それから

.

例

運動量ベクトル

オブジェクトのはによって与えられます

、 どこ

オブジェクトの質量であり、

は速度ベクトルです。質量が2kgで、速度が

MS^-1、運動量ベクトルを見つけます。

勢いは

kg m s^-1.

2つのベクトルの内積を見つける方法

NS スカラー積 （別名 ドット積）2つのベクトル間

と

と書かれています

。これは、次のように定義されます。

どこ

以下に示すように、2つのベクトルがテールツーテールで配置されている場合の2つのベクトル間の角度です。

2つのベクトル間の内積は、スカラー量を生成します。幾何学的には、この量は、一方のベクトルの他方への投影の大きさと「他の」ベクトルの大きさの積に等しくなります。

デカルト平面に沿ったベクトルの成分を使用して、次のようにスカラー積を取得できます。ベクトルの場合

と

、次に内積

例

ベクター

と

。探す

.

例

行われた作業

力で

、変位が発生した場合

オブジェクトは、によって与えられます。

。の力を仮定します

Nは物体を動かし、その力による変位は次のようになります。

NS。力によって行われた仕事を見つけます。

NS。

例

2つのベクトル間の角度を見つける

と

.

スカラー積の定義から、

。ここに、

と

.

それで、

.

2つのベクトルが互いに垂直である場合、角度

それらの間は90です^o。この場合、

したがって、スカラー積は0になります。特に、デカルト座標系の単位ベクトルの場合、次のことに注意してください。

平行ベクトルの場合、角度

それらの間は0です^o。この場合、

そして、スカラー積は単にベクトルの大きさの積になります。特に、

スカラー積は可換です。 NS。

.

スカラー積も分配的です。 NS。

.

2つのベクトルの外積を見つける方法

NS 外積 （別名 ベクトル積）2つのベクトル間

と

と書かれています

。これは、次のように定義されます。

ベクトル積または外積は、スカラー積とは異なり、答えとしてベクトルを提供します。上記の式は、ベクトルの大きさを示しています。このベクトルの方向を取得するには、ドライバーを最初のベクトルの方向から2番目のベクトルの方向に向けることを想像してください。ドライバーが「入る」方向は、ベクトル積の方向です。

たとえば、上の図では、ベクトル積は次のようになります。

ページを指すのに対し、

ページの外を指します。

明らかに、それでは、 ベクトル積は可換ではありません。それよりも、

.

2つの平行なベクトル間の外積は0です。これは、角度が

それらの間は0です⁰、作る

.

単位ベクトルに関しては、次のようになります。

また、

コンポーネントに関して、ベクトル積は次の式で与えられます。

例

ベクトル間の外積を見つける

と

.

.